Ces lois font partie des plus importantes de la physique actuelle.

Plusieurs méthodes existent pour prouver ou tenter de démontrer les fameuses lois de Descartes. Ils s'agît ici de tenter d'illustrer trois de ces voies, qui permettent l'accès aux lois de Descartes, utilisées abondamment en optique dite géométrique.

Ce document ne se veut nullement être un véritable cours, mais une sorte de rappel de ''où çà sort''.

Bonne lecture.

A. Démonstration en terme d'optimalisation du chemin optique

Il s'agît d'extrémiser le chemin optique :

n est l'indice dans le milieu 1 ou le milieu 2, pour une fréquence de vibration lumineuse donnée.

AI et IB sont les distances algébriques considérées. I est un point de l'interface (dioptre en optique).

Soit I' un point ''trés peu éloigné'' de I mais appartenant au dioptre.

Ecrivons la différentielle de L(AIB) :

Or les différentielles de AI et de IB sont relatives à des petits déplacements autour des coordonnées positions de A, B et I.

En effet, on suppose le déplacement infinitésimal du point A (dA) comme nul.

De même,

On note le signe due à la différentielle calculée.

En outre, il vient , en introduisant les vecteurs u (unitaires) et portés par les rayons lumineux :

Le chemin optique est extrémalisé, si et seulement si, la condition suivante est réalisée :

dL(AIB) = 0

soit donc, pour tout dI,

en choisissant une direction de projection portée par le vecteur T, comme tangente, on effectue le produit vectoriel des deux membres de l'équation :

la base de vecteurs utilisé est celle définie par les vecteurs N et T :

Espace 2D = Vect (N ; T)

d'où une des formules les plus célèbres de l'optique géométrique, utilisée notamment en sismologie (méthode de sismi-réfraction)

Cette démonstration, à dominante géométrique, est basé sur le principe de l'extrémum du chemin optique.

B. Démonstration à partir de l'équation eïkonale et de l'équation des rayons lumineux :

L'équation eïkonale est obtenue par plusieurs raisonnements :

Calculs sur les différences de phases delta phi (ondes localement planes)

Equations de Maxwell en milieu diélectrique linéaire (LHI)

C. Démonstration à partir des invariants de Bouguer :

L'invariant de Bouguer est défini par définition par :

On écrit que cette quantité purement vectorielle se conserve au passage du dioptre.

Cette méthode est appliquée en géophysique : on peut en couches géologiques peu profondes, repérer des interfaces géophysiques.

Cette méthode permet d'expliquer certains phénomènes atmosphériques : visualisation d'étoiles, etc.

Donc,

En effectuant une projection sur un axe privilégié, il vient :

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